решения некоторых задач

     Аналогично^*

     (76)

     Остановимся на некоторых применениях формулы (74).

     I. Извлечение корней. Пусть требуется извлечь корень степени m из натурального числа A, которое не является точной m-й степенью.

     Представим A в форме

A = a^m + b,

где a - натуральное, а b - целое число, причем^** | b | < a^m. Тогда

     Число лежит в (-1, +1) и потому функция

разлагается в ряд по степеням x, сходящийся тем быстрее, чем меньше |x|. Взяв достаточно большое число членов этого ряда, получим интересующий нас корень с любой степенью точности.

     Оценку совершаемой при этом ошибки особенно удобно производить в тех случаях, когда x > 0. Действительно, при этом условии и при , где m > 1, ряд

заведомо будет знакочередующимся, и модуль его общего члена будет убывать^*** с возрастанием n. Поэтому абсолютная величина ошибки будет меньше первого отброшенного члена ряда, а знак ошибки совпадет со знаком этого члена.

     Например, ошибка равенства

по абсолютной величине меньше, чем

решения некоторых задач

^*   Коэффициент при xⁿ в формуле (76), когда n ≥ 2, таков: .

^**   Такое представление возможно бесчисленным множеством способов. Достаточно взять такое натуральное a, чтобы оказалось a^m > A и положить b = A - a^m.

^***   Модуль отношения двух соседних членов равен . Это - число, меньшее единицы (если и |x| < 1).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-