Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Правая часть последнего равенства есть не что иное, как S(x). Таким образом, (1 + x)S '(x) = μS(x). (73) Заметив это, рассмотрим функцию
заданную в (-1, +1). Ее производная такова:
В силу (73) оказывается ψ ' (x) = 0. Значит, в (-1, +1) функция ψ(x) постоянна. Но непосредственно видно, что ψ(0) = 1. Следовательно, при всех прочих x тоже будет ψ(x) = 1, откуда S(x) = (1 + x) μ. Итак, доказана Теорема 1. При -1 < x < 1 будет
каково бы ни было μ. В частности, при μ = 1 формула (74) превращается в формулу суммирования геометрической прогрессии
Отметим еще два частных случая формулы (74). Если
С другой стороны,
Значит,
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39- |
(74)
, то
(75)