решения некоторых задач

     Применим для решения этого вопроса признак Даламбера. У нас

     Стало быть,

и

     Поэтому радиус сходимости ряда (71) есть 1. Мы не будем исследовать поведение ряда на концах ±1 промежутка сходимости^*, а ограничимся изучением его суммы в открытом промежутке (-1; +1).

     Выше уже указывалось, что бывают случаи, когда ряд Тейлора некоторой функции сходится, но его сумма не совпадает с этой функцией. Поэтому из того обстоятельства, что ряд (71) сходится в (-1; +1), еще не следует, что сумма его равна функции (1 + x) ^μ. Доказать этот факт на основании теоремы 2 нельзя, так как условия этой теоремы здесь оказываются не выполненными. Можно было бы доказать его, пользуясь другими выражениями остаточного члена формулы Тейлора. Поскольку этих выражений мы не выводили, то и этот путь оказывается для нас закрытым. В то же время упомянутый факт весьма важен. Поэтому все же докажем его, хотя и несколько искусственным способом.

     Обозначим сумму ряда (71) через S(x). Так как степенной ряд можно почленно дифференцировать, то при всех x из (-1, +1) будет

откуда

     (72)

     Умножим равенство (72) на x и сложим полученное равенство с (72). В результате окажется

откуда

решения некоторых задач

^*   Сходимость или расходимость ряда (71) в точках ±1 зависит от значения μ.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-