решения некоторых задач

     Биномиальный ряд

     Знаменитая формула, изучаемая в школе под названием "бинома Ньютона", фактически была известна еще задолго до Ньютона. Ньютону же принадлежит заслуга ее распространения на случай не натуральных показателей.

     Поставим вопрос о разложении функции

f(x) = (1 + x) ^μ

в ряд, расположенный по степеням x. Здесь

f '(x) = μ(1 + x) ^μ-1,   f "(x) = μ(μ - 1)(1 + x) ^μ-2,

f ″′(x) = μ(μ - 1)(μ - 2)(1 + x) ^μ-3

и вообще

f ⁽ⁿ⁾(x) = μ(μ - 1) ... (μ - n + 1)(1 + x) ^μ-n,

что можно подтвердить с помощью полной индукции.

     Таким образом,

f(0) = 1,   f '(0) = μ,   f "(0) = μ(μ - 1),   ...

...,   f ⁽ⁿ⁾(0) = μ(μ - 1) ... (μ - n + 1),   ...

и ряд Тейлора нашей функции таков:

     (71)

     Этот ряд называется биноминальным. Если μ = 0, 1, 2, то ряд (71) принимает соответственно вид

1,   1 + x,   1 + 2x + x²,

т. е. превращается в конечный многочлен. Нетрудно видеть, что это явление имеет место всегда, когда μ - целое неотрицательное число. Для таких значений μ равенство функции (1 + x) ^μ и суммы ее ряда Тейлора, т. е. равенство

справедливо при всех действительных (и даже комплексных!) x, что и составляет содержание элементарной теоремы о биноме Ньютона.

     Если μ не есть целое неотрицательное число, то ряд (71) существенно бесконечен, и прежде всего встает вопрос о его промежутке сходимости.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-