решения некоторых задач

     В частности^*, для функций sin x, cos x, e^x при всех действительных x справедливы разложения

     (67)

     (68)

     (69)

     Формулы (67) и (68) могут быть использованы для фактического вычисления sin x и cos x. Мы не будем уже останавливаться на этом вопросе, т. к. основные принципы здесь те же, что и при вычислении логарифмов или арктангенсов. Обратим внимание лишь на то обстоятельство, что, желая найти синус (или косинус) угла, заданного в градусах, надо сначала найти величину этого угла в радианах и именно эту величину подставлять вместо x в формулы (67) и (70).

     Остановимся в заключение еще на одном возможном применении формулы (63). Именно, если эта формула справедлива в некотором промежутке (a - r, a + r), то, как было установлено в пункте Свойства суммы степенного ряда, для всякого замкнутого промежутка [p, q], содержащегося в (a - r, a + r), будет

     (70)

     Так как все интегралы, находящиеся в правой части, вычисляются без труда, то формула (70) доставляет способ приближенного вычисления интеграла

не требующий нахождения первообразной функции для f(x) и пригодный даже в тех случаях, когда эта первообразная не выражается элементарно.

     Вычислим, например, интеграл^**

с точностью до 0,0001. На основании формулы (67) имеем:

откуда

     Так как этот ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то, ограничиваясь выписанными членами, делаем ошибку Δ такую, что

Так как

то с учетом всех ошибок находим:

причем все выписанные знаки верны.

решения некоторых задач

^*   Как было бегло упомянуто в пункте Промежуток сходимости

^**   Здесь как раз не выражается через элементарные функции.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-