решения некоторых задач

     Не нужно думать, что всякая функция разлагается в степенной ряд. Прежде всего может оказаться, что для функции нельзя даже составить ее ряда Тейлора. Например, у функции

при a = 0 ряд Тейлора не существует, т. к.

а это выражение теряет смысл при x = 0.

     Далее, может оказаться, что, хотя ряд Тейлора и может быть составлен, но его радиус сходимости равен нулю, так что равенство (66) справедливо лишь для x = a. Практически такое равенство совершенно бесполезно.

     Наконец, возможен и такой случай, когда функция имеет производные всех порядков и ее ряд Тейлора сходится в некотором промежутке, но его сумма не совпадает с f(x) нигде, кроме точки x = a.

     Таким образом, даже бесконечное число раз дифференцируемые функции должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям для того, чтобы разлагаться в степенной ряд.

     Теорема 2. Пусть f(x) задана в промежутке [A, B] и имеет там производные любого порядка. Если существует такая постоянная K, что при всех натуральных n и при всех x из [A, B] оказывается

| f ⁽ⁿ⁾ (x) | ≤ K,

то равенство (66) справедливо для любой пары точек x и a из [A, B].

     В самом деле остаточный член R_n(x) формулы Тейлора

стремится к нулю с возрастанием n. Но это, очевидно, совершенно равносильно равенству (66), т. к. сумма

есть частичная сумма ряда Тейлора функции f(x).

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-