Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Изображение функции в виде суммы степенного ряда может быть полезно в разных отношениях. Прежде всего оно дает возможность фактического вычисления этой функции, т. к. частичные суммы ряда, будучи обыкновенными алгебраическими многочленами, вычисляются без труда, и в то же время эти суммы становятся сколь угодно близкими к изображаемой функции при достаточном увеличении числа взятых членов. Кроме того, представление функции степенным рядом часто позволяет устанавливать различные свойства этой функции. Так, например, из формул (3) и (4) получаем: sin(-x) = -sin x, cos(-x) = cos x, т. е. что sin x есть функция нечетная, а cos x - четная. Мы надеемся, что изложенные здесь соображения достаточно объясняют тот большой интерес, который привлекает к себе теория степенных рядов. Ниже важность этой теории (и, в частности, ее важность для нужд элементарной математики) будет выявлена более обстоятельно. По отношению к степенному ряду (как и вообще ко всякому ряду, члены которого зависят от x) бессмысленно ставить вопрос, сходится он или расходится, т. к. один и тот же ряд при одних значениях x может сходиться, а при других - расходиться. Например, ряд 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ..., очевидно, сходится при x = 0 и расходится при x = 1. Разумная постановка вопроса должна быть такова: при каких x сходится ряд (1) и при каких он расходится? Оказывается, что множество тех x, при которых сходится степенной ряд (1), всегда имеет очень простое строение: это - промежуток, симметричный относительно точки x = 0. Докажем этот замечательный факт (открытый Н. Г. Абелем, 1802 - 1829). Лемма Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении x0 ≠ 0, то он абсолютно сходится при каждом x, у которого | x | < | x0 |. (6) В самом деле, так как общий член сходящегося ряда
стремится к нулю с возрастанием своего номера, то
Но если какая-нибудь последовательность имеет предел, то множество членов этой последовательности ограничено. Поэтому существует такое число M, что
Заметив это, рассмотрим ряд (1) при значении x, удовлетворяющем неравенству (6). Этот ряд можно переписать так:
_____________________________________________________ * Если B - множество, не ограниченное сверху, то, как обычно, полагаем R = +∞. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39- |
(7)
(8)