решения некоторых задач

Сумма отрицательных членов такова:

Ошибка этой суммы больше, чем и меньше, чем .

     Производя вычитание и учитывая оценки всех ошибок, находим:

3,15832895757 < 16α < 3,15832895765.     (60)

     Переходя к отысканию 4β, прежде всего заметим, что β лежит между и . Действительно, так как , то ; стало быть, , откуда . Поэтому^*

β = arctg (tg β).

С другой стороны,

     (61)

Замечая, что , находим последовательно:

Отсюда и из (61) следует, что

     Сопоставляя это с основной формулой (53), находим:

     Ограничиваясь всего лишь двумя (!) членами ряда, мы сделали ошибку Δ", удовлетворяющую неравенству

Так как

то и разность этих чисел равна

0,01673630400,

причем ошибка разности лежит между 0 и 10^-11. Сопоставляя это с оценкой для Δ", находим:

0,01673630400 < 4β < 0,01673630402.     (62)

     Из (59), (60) и (62) получаем:

3,14159265355 < π < 3,14159265365.

Отсюда

π = 3,1415926536,

причем все выписанные здесь знаки верны!

решения некоторых задач

^*   Напомним, что символом arctg m обозначается тот из углов, имеющих тангенс, равный m, который лежит между и .

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-