решения некоторых задач

     Формула (54) представляет несомненный теоретический интерес, т. к. дает очень простое выражение числа π через натуральные числа (значительно более простое, чем формула Валлиса). Однако в качестве средства вычисления π этот ряд практически непригоден из-за его чрезвычайно медленной сходимости^*.

     Более удобное разложение π получим, если в основной формуле (53) положим . Это приводит к равенству

откуда

     (58)

     Если ограничиться выписанными членами, то согласно замечаниям, сделанным в пункте "Знакочередующиеся ряды" к теореме Лейбница, ошибка будет положительна и меньше первого отброшенного члена, т. е. меньше, чем

так что ряд (58) дает уже и практически приемлемое средство вычисления π. Тем не менее, для получения π с большой точностью и ряд (58) мало удобен. Для этой цели приходится [исходя из той же формулы (53)] применять некоторые искусственные приемы. Остановимся на одном из них.

     Введем в рассмотрение величину

и пусть

Тогда

     (59)

     Покажем, что, пользуясь формулой (53), можем вычислить величины 16α и 4β. В самом деле, полагая в (53) и умножая на 16, получим:

     Если ограничиться выписанными членами, то согласно замечаниям к теореме Лейбница ошибка Δ' будет удовлетворять неравенству

     Складывая положительные члены, находим:

Ошибка этого числа лежит между и .

решения некоторых задач

^*   Чтобы получить π с двумя верными знаками после запятой, надо сложить пятьдесят (!) членов ряда (54).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-