Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Разложение арктангенса и вычисление π. Если |x| < 1, то
т. к. справа здесь написана геометрическая прогрессия со знаменателем q = -x2. Проинтегрируем это равенство по промежутку [0, z], где 0 < z < 1. В результате получим:
откуда
или, возвращаясь к букве x,
Обе части этого равенства меняют знак вместе с x. Поэтому оно доказано для -1 < x < 1. При x = 1 это равенство принимает вид
причем написанный здесь ряд сходится, что видно из теоремы Лейбница. Однако предшествующими рассуждениями равенство (54) не доказано. Тем не менее, оно верно. Для доказательства этого будем исходить не из бесконечного ряда 1 - x2 + x4 - x6 + ..., а из конечной суммы
Отсюда:
и, интегрируя от 0 до 1, находим:
Для интеграла в правой части получаем оценку:
следовательно,
и
что и требовалось доказать. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39- |
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
