решения некоторых задач

     Ясно, что

Суммируя написанную здесь геометрическую прогрессию, находим

     (31)

     Подчеркнем, что ρ_p(N) есть ошибка приближенного равенства

     (32)

     Применим, например, формулу (32) для вычисления ln 2. Для этого надо положить N = 1. Оценка (31) при этом принимает вид

Возьмем p = 6. Так как

то ошибка ρ₆(1) равенства

     (33)

удовлетворяет неравенству

0 < ρ₆(1) < 0,00000012.

     Запишем каждый член правой части (33) в форме десятичной дроби с 8-ю верными знаками. Это означает, что абсолютная величина поправки, которую надо прибавить к десятичному разложению числа, чтобы получить точное значение этого числа, не больше, чем

0,000000005.

     Чтобы сделать наши оценки более точными, будем, оканчивая запись десятичной дроби, ставить в скобках знак упомянутой поправки^*. Таким образом,

Сумма выписанных здесь десятичных дробей равна

0,69314708.     (34)

     Это число не является, однако, точным значением суммы, стоящей в (33) справа. Если от каждой дроби, отмеченной знаком (-), отнимем 0,000000005, а дроби, отмеченные знаком (+), оставим без изменения, то полученная от сложения этих дробей сумма будет меньше суммы, стоящей в (33) справа. Но знаком (-) у нас отмечены 3 дроби. Поэтому, отнимая от (34) 0,000000015, получим число, меньшее суммы, стоящей в правой части (33). Применяя аналогичные соображения к дробям, отмеченным знаком (+), а также учитывая оценку для ρ₆(1), получим окончательно:

0,693147065 < ln 2 < 0,693147215,     (35)

откуда

ln 2 = 0,693147 (+)     (36)

и все 6 знаков здесь верны.

решения некоторых задач

^*   Т. е. у дробей избыточных писать (-), а у недостаточных (+).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-