решения некоторых задач

Так как при x > 0, то

следовательно,

     и     

Равенство (28) доказано^*. Значит, равенство (27) верно для -1 < x ≤ 1.

     Формула (27) является исходной при составлении таблицы логарифмов. Однако непосредственное ее использование для этой цели затрудняется^** тем обстоятельством, что она справедлива лишь при -1 < x ≤ 1. Поэтому приходится несколько преобразовать эту формулу.

     Заменяя в (27) x на -x, получим для -1 ≤ x < 1

     (29)

Вычитая это равенство из (27), находим:

     Положим здесь

где N - натуральное число. Замечая, что при этом , получаем основную для интересующего нас вопроса формулу

     (30)

     Эта формула позволяет нам находить ln(N + 1), если уже известен ln N. Но так как ln 1 = 0, то, полагая в (30) последовательно N = 1, N = 2, N = 3, ..., сможем получить из этой формулы один за другим логарифмы всех натуральных чисел до любого интересующего нас предела.

     Чтобы производимые при этом вычисления были надежными, надо уметь оценивать ошибку^***, получающуюся при замене суммы ряда, стоящего в (30), на его частичную сумму. Для этого, очевидно, надо оценить сумму остатка этого ряда, т. е.

решения некоторых задач

^*   Дадим еще одно доказательство равенства (28). Положим . Прибавим к правой части и вычтем из нее сумму , причем, прибавляя, запишем эту сумму в виде . Очевидно, в результате этих операций получим: . Отсюда . Это - интегральная сумма, стремящаяся при n → ∞ к , чем снова доказано (28).

^**   При помощи некоторых искусственных приемов эту трудность можно было бы обойти. Например, мы могли бы вычислять ln 2 не при помощи очень медленно сходящегося ряда (28), а положив в (27) , что дало бы

      Здесь для получения какой-либо заранее заданной точности пришлось бы брать гораздо меньше членов, чем в ряде (28).

      Положив, далее, в (27) , мы нашли бы , что привело бы нас и к ln 3 (поскольку ln 2 уже известен), и т. д.

^***   Ошибкой приближенного равенства раз навсегда условимся называть то число, которое следует прибавить к приближенному значению величины, чтобы получить точное. Другими словами, это есть поправка к приближенному значению. Например, ошибка равенства есть 0,000(3), а ошибка равенства есть - 0,000(3).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39-