Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
Примеры решения задач / Ряды / Степенные ряды / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Степенные рядыПромежуток сходимости. Степенным рядом называется ряд вида c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + ..., (1) где c0, c1, c2, ... - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. Про ряд (1) говорят, что он расположен по степеням x. Иногда рассматривают степенные ряды несколько более общего вида c0 + c1(x - a) + c2(x - a)2 + ..., (2) расположенные по степеням разности x - a. Впрочем, ряд (2) приводится к виду (1) при помощи подстановки x - a = x'. Ввиду этого обстоятельства мы занимаемся далее преимущественно рядами (1). С чисто формальной точки зрения бесконечные ряды представляют собой суммы, состоящие из бесконечного числа слагаемых. Аналогично этому, степенные ряды - это, так сказать, "многочлены бесконечно высокой степени". Важность таких выражений для математики видна хотя бы из следующего примера: при любом действительном x будет
Пользуясь принятыми обозначениями можем этот результат записать и так:
Иначе говоря, важнейшая тригонометрическая функция sin x представима степенным рядом (1). Точно также находим
Мы видим, что степенные ряды представляют собой выражения, способные изображать многие важные функции. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33-34-35-36-37-38-39- |
(3)
(4)
(5)