Если на сфере у каждой большой окружности имеются два диаметрально противоположных полюса, то на неевклидовой плоскости Римана у каждой прямой имеется только один полюс. Прямую неевклидовой плоскости Римана можно рассматривать как множество всех точек, отстоящих от полюса на расстоянии πr/2. Если на Рис. 7 будем приближать расстояние ρ к πr/2, то увидим, что окружность радиуса ρ с центром Q будет приближаться к прямой с полюсом Q с двух сторон и в пределе окружность перейдет в прямую, пройденную не один, а два раза ("дважды взятую" прямую). Это соответствует тому, что длина окружности радиуса ρ, равная , при стремлении ρ к πr/2 стремится к 2πr, а длина прямой на неевклидовой плоскости Римана равна πr.

     Из свойств сферических окружностей вытекает, что все перпендикуляры к одной прямой на неевклидовой плоскости Римана пересекаются в полюсе этой прямой. Далее, всякие две прямые на плоскости Римана обладают общим перпендикуляром, полюсом которого является точка пересечения этих прямых. Из этого вытекает, что при r = 1 угол^* между двумя прямыми a и b (см. Рис. 10) равен расстоянию между точками M и N их пересечения с их общим перпендикуляром c, а также равен расстоянию между полюсами A и B этих прямых. Последний факт показывает, что прямые неевклидовой плоскости Римана находятся во взаимно однозначном соответствии с ее точками - полюсами этих прямых, причем углы между прямыми равны расстояниям соответствующих точек. Таким образом, прямые неевклидовой плоскости Римана, если считать углы между ними расстояниями, образуют модель той же плоскости.

     Последнее обстоятельство можно пояснить также следующим образом. Рассмотрим своеобразное "преобразование" неевклидовой плоскости Римана, сопоставляющее каждой прямой a этой плоскости определенную точку A - полюс прямой a, а каждой точке A - прямую a, полюсом которой является точка A (эта прямая называется полярой точки A). Если рассматривать множество точек и прямых неевклидовой плоскости Римана как множество пар точек и больших окружностей сферы, то это преобразование сводится к замене каждой большой окружности парой ее полюсов и каждой пары диаметрально противоположных точек - большой окружностью (являющейся "экватором" сферы, если наши точки принять за "северный полюс" и "южный полюс"). Радиус сферы примем равным 1; это равносильно такому выбору единицы измерения длин на плоскости Римана, при котором длина прямой оказывается равной π. Соответствующее преобразование, заменяющее прямые точками, а точки прямыми, называется полярным преобразованием. В силу доказанного выше, две точки A и B переводятся полярным преобразованием в такие прямые a и b, что расстояние между A и B равно углу между a и b и наоборот; далее, если точки A и B принадлежат прямой c, то полярное преобразование переводит их в прямые a и b, пересекающиеся в точке C, отвечающей, в силу полярного преобразования, прямой c (см. Рис. 10).

     Существование полярного преобразования с такими замечательными свойствами обеспечивает выполнение в неевклидовой геометрии Римана принципа двойственности, заключающегося в следующем: если заменить в любом предложении неевклидовой геометрии Римана слова "точка", "лежит на", "расстояние" соответственно словами "прямая", "проходит через", "угол" и наоборот, то придем к новому предложению, также являющемуся правильным. Для доказательства достаточно подвергнуть выражающий первое предложение чертеж, а также все относящиеся к нему рассуждения полярному преобразованию. Предложения, получаемые одно из другого таким образом, называются двойственными друг другу. Так, например, аксиоме о том, что каждые две точки неевклидовой плоскости Римана принадлежат единственной прямой, двойственна аксиома: каждые две прямые неевклидовой геометрии Римана пересекаются в одной точке. Другие примеры двойственных друг другу предложений будут приведены далее.

^*   Здесь, разумеется, говорится о радианной мере угла.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-