Так, например, координата x по абсолютной величине равна расстоянию от профильной вертикальной плоскости; она положительна, когда данная точка лежит справа от этой плоскости, и отрицательна, когда точка лежит слева. Координата y по абсолютной величине равна расстоянию от фронтальной вертикальной плоскости; она положительна для точек, расположенных перед этой плоскостью, и отрицательна для точек, расположенных за ней. Координата z по абсолютной величине равна расстоянию от горизонтальной плоскости; она положительна для точек, лежащих над этой плоскостью, и отрицательна для точек, лежащих под ней.

     Расстояние OM от начала координат O до произвольной точки M с координатами x, y, z определяется соотношением

OM² = x² + y² + z².     (1)

В самом деле, обозначив через P основание перпендикуляра, опущенного из точки M на горизонтальную плоскость, получим, в силу теоремы Пифагора, OM² = OP² + z², а OP² = x² + y², откуда и следует, что OM² = x² + y² + z². Если радиус нашей сферы равен r, то, в силу соотношения (1), координаты всех точек сферы удовлетворяют условию

x² + y² + z² = r².     (2)

"Точки" неевклидовой плоскости Римана можно описать тем же уравнением, если только условиться считать, что M(x, y, z) и M₁(-x, -y, -z) - это одна точка.

     Расстояние M₁M₂ между двумя произвольными точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂) пространства определяется по общей формуле

     (3)

(частным случаем которой является формула (1)), а угол φ между двумя отрезками OM₁ и OM₂, исходящими из точки O, - по формуле

     (4)

     Для того чтобы убедиться в справедливости этих формул, напомним, что если a и b - два вектора с координатами x₁, y₁, z₁ и x₂, y₂, z₂, то

ab = ab cos φ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

(где φ - угол между векторами a и b) и, в частности,

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-