Роль окружностей в сферической геометрии играют так называемые малые окружности, т. е. сечения сферы плоскостями, не проходящими через ее центр. Ясно, что любую окружность (и большую и малую) можно в сферической геометрии определить как множество точек, удаленных от фиксированной точки Q на постоянное расстояние ρ; точка Q называется при этом центром (или полюсом) окружности, а расстояние ρ - ее радиусом. У каждой окружности на сфере имеются два полюса Q₁, Q₂ (являющихся диаметрально противоположными точками сферы, Рис. 3) и соответственно этому два радиуса ρ₁, ρ₂. Если эти радиусы различны, то имеем малую окружность, если же они совпадают (и равны πr/2), то - большую окружность.

     Большие и малые окружности сферы аналогичны прямым и окружностям на плоскости еще и в том отношении, что существуют движения сферы (повороты, Рис. 4), переводящие их в себя. Из этого ясно, что большие и малые окружности являются "однородными" линиями, т. е. во всех своих точках они устроены совершенно одинаково.

     Однако между геометрией на сфере и геометрией на плоскости имеется и одно существенное различие. Мы знаем, что через каждые две точки плоскости проходит единственная прямая линия; другими словами, никакие две прямые не могут пересечься в двух точках. В противоположность этому каждые две большие окружности сферы пересекаются в двух (диаметрально противоположных) точках. Это обстоятельство резко отличает сферическую геометрию как от евклидовой геометрии, так и от неевклидовой геометрии Лобачевского. Для того чтобы устранить его, условимся называть "точкой" сразу пару диаметрально противоположных точек сферы. Полученный геометрический образ - сферу, понимаемую как множество пар диаметрально противоположных точек, - мы и назовем неевклидовой плоскостью Римана. Под "прямыми" неевклидовой геометрии Римана будем понимать большие окружности сферы (рассматриваемые как множество пар диаметрально противоположных точек). Условимся, далее, принимать за "расстояние" между двумя "точками" A и B плоскости Римана (не превосходящее четверти большой окружности) расстояние между соответствующими им точками сферы (так что расстояние между "точками", изображаемыми имеющимися на Рис. 5 парами A, A₁ и B, B₁, равно дугам AB или A₁B₁, но не AB₁!). При таком определении полная длина "прямой" будет равна πr, но не 2πr (т. к., пройдя по "прямой" путь AA₁, равный πr, придем к "точке" A₁, совпадающей с исходной "точкой" A, Рис. 6).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-