Если M₁ и M₂ - точки гиперсферы, то расстояние ω между этими точками, измеренное по большой окружности, равно углу между отрезками OM₁ и OM₂, умноженному на радиус r гиперсферы, т. е.

     (14)

а в неевклидовом пространстве Римана, где расстояние ω между точками не может быть больше , это расстояние определяется по формуле

     (14а)

     Будем называть прямой линией и плоскостью в неевклидовом пространстве Римана множество точек этого пространства, получающееся при отождествлении диаметрально противоположных точек, лежащих соответственно на большой окружности и большой сфере гиперсферы. Плоскость неевклидова пространства Римана, очевидно, является неевклидовой плоскостью Римана. Если на гиперсфере у каждой большой сферы имеются два диаметрально противоположных полюса, то в неевклидовом пространстве Римана у каждой плоскости имеется только один полюс. Плоскость можно рассматривать как множество всех точек, отстоящих от полюса на расстоянии πr/2. Так же как в случае прямых на плоскости, показывается, что все перпендикуляры к плоскости в неевклидовом пространстве Римана пересекаются в полюсе этой плоскости (см. Рис. 17) и что всякие две плоскости в этом пространстве обладают общим перпендикуляром, причем каждая точка пересечения плоскостей является полюсом одной из плоскостей, проходящих через этот общий перпендикуляр (см. Рис. 18).

Отсюда вытекает, что при r = 1 угол между двумя плоскостями &945; и β (см. Рис. 19) равен расстоянию между точками A и B их пересечения с их общим перпендикуляром, а также равен расстоянию между полюсами Q и R этих плоскостей.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-