Выпишем также основные тригонометрические зависимости, связывающие элементы треугольника ABC неевклидовой геометрии Римана со сторонами AB = c, BC = a, CA = b (в рамках сферической геометрии эти формулы были установлены весьма давно):

     (10)

     (10a)

(теоремы косинусов) и

     (11)

(теорема синусов). [Как и выше, здесь принято, что длина всей прямой в плоскости Римана равна πr.]

     Трехмерная неевклидова геометрия Римана. Совершенно аналогично, отождествляя диаметрально противоположные точки гиперсферы в четырехмерном евкдиловом пространстве, получим трехмерное неевклидово пространство Римана. Если введем в четырехмерном пространстве прямоугольные координаты x, y, z, t, то найдем, что расстояние OM от начала координат до произвольной точки M с координатами x, y, z, t определяется соотношением

OM² = x² + y² + z² + t².     (12)

Таким образом, если начало координат находится в центре гиперсферы, то ее точки удовлетворяют уравнению

x² + y² + z² + t² = r².     (12a)

     Точки неевклидова пространства Римана можно описать тем же уравнением (12а), если только условиться считать, что M(x, y, z, t) и M₁(-x, -y, -z, -t) - это одна точка.

     Расстояние M₁M₂ между двумя произвольными точками M₁(x₁, y₁, z₁, t₁) и M₂(x₂, y₂, z₂, t₂) четырехмерного пространства определяется по более общей формуле

     (12б)

а угол φ между отрезками OM₁ и OM₂ - по формуле

     (13)

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-