решения других задач по данной теме

Через точки M(1, 2, 3) и N(-2, -1, 3) провести плоскость, перпендикулярную плоскости x + 4y - 2z + 5 = 0.

Решение.

Уравнение связки плоскостей, проходящих через точку, имеет вид A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0.

Подставляя в A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0 вместо x₁, y₁ и z₁ координаты точки M, получим

A(x - 1) + B(y - 2) + C(z - 3) = 0.     (1)

Определению подлежат A, B и C.

Так как данная плоскость проходит и через точку N(-2, -1, 3), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставим в уравнение (1) координаты точки N вместо текущих координат и получим

A(-2 - 1) + B(-1 - 2) + C(3 - 3) = 0,

откуда

-3A - 3B = 0, или A + B = 0.     (2)

Используем теперь то, что искомая плоскость перпендикулярна данной. Условие перпендикулярности двух плоскостей A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0 с учетом того, что из данного уравнения A₁ = 1, B₁ = 4, C₁ = -2, запишется так:

Соединяя (1) и (2), получим систему двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными:

Решаем эту систему по формулам (25) и получаем

A = -2t; B = 2t; C = 3t.

Подставляя эти значения A, B и C в (1) и сокращая на t, будем иметь

-2(x - 1) + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0.

Откроем скобки, сделаем приведение подобных членов и окончательно получим искомое уравнение в виде

2x - 2y - 3z + 11 = 0.

решения других задач по данной теме