Семеро друзей живут вдоль шоссе, которое проложено в лесу. Расположение их домов показано на рисунке. Они являются членами клуба туристов. Стоимость бензина оплачивается из казны клуба. В каком месте шоссе им необходимо собраться на пикник, чтобы израсходовать на путешествие минимальное количество денег на бензин? Любое место в лесу у шоссе является прекрасным местом для пикника.

Решение.

     Нужно выбрать на шоссе такую точку, чтобы сумма расстояний от точек А, Б, В, Г, Д, Е и Ж до этой точки была минимальной. Введем координатную прямую, направив ее вдоль прямой, изображающей шоссе, приняв за начальную точку А, направление - в сторону точки Б, единицей масштаба будем считать 1 км. Тогда имеем следующие координаты отмеченных точек: А(0), Б(8), В(11,2), Г(19,2), Д(22,4), Е(24), Ж(25,6). Согласно приведенному свойству сумма расстояний от всех точек до точки с координатой, равной медиане координат всех точек, является наименьшей. Медианой является точка Г(19,2) (четвертая из семи точек, координаты которых расположены в возрастающем порядке). В этом месте друзьям целесообразно собраться на пикник.

     В этом случае сумма расстояний, которую должны проехать друзья, равна 19,2 + 11,2 + 8 + 0 + 3,2 + 4,8 + 6,4 = 52,8 (км). Для сравнения найдем среднее арифметическое координат и подсчитаем сумму расстояний до соответствующей точки. Имеем

     Сумма расстояний от всех точек до точки с координатой 15,8 равна 15,8 + 7,8 + 3,4 + 3,4 + 6,6 + 8,2 + 9,8 = 55 (км). Как и следовало ожидать, эта сумма оказалась больше предыдущей.