Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы
решения других задач по данной теме Найти объем тела T, ограниченного поверхностью Решение. Тело T изображено на рисунке.
Для вычисления его объема удобно перейти к обобщенным сферическим координатам (r, θ, φ) по формулам x = 2r2 sin4θ cos4φ, y = 3r2 sin4θ sin4φ, (*) z = 15r2 cos4θ. Тогда уравнение поверхности S примет простой вид: r = 1. В пределах тела T переменная φ изменяется от 0 до π/2, при каждом значении τ = {(r, θ, φ): 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/2}. Якобиан отображения (*) равен 2880 r5sin7θ cos3θ sin3φ cos3φ ( Используя формулу
решения других задач по данной теме |
и координатными плоскостями.
переменная θ изменяется также от 0 до π/2, а на каждом луче φ = const, θ = const переменная r изменяется от 0 (значение r в начале координат) до 1(значение r на поверхности S). Итак, прообразом тела T при отображении (*) является прямоугольный параллелепипед в пространстве (r, θ, φ):
).
для объема тела в криволинейных координатах и вычисляя интеграл по области τ с помощью повторного интегрирования, получаем
