решения других задач по данной теме

Как расположена относительно координатных осей линия y² = -2px (p > 0)? Какая это линия?

Решение.

Эта кривая проходит через начало координат, так как координаты точки (0, 0) удовлетворяют ее уравнению.

Левая часть уравнения при любом вещественном значении y положительна, значит, и правая часть тоже должна быть положительной. Так как величина p > 0 по условию, то это будет иметь место только тогда, когда величина x не является положительной, т. е. когда . Значит, x не может принимать положительных значений. Из уравнения y² = -2px видно, что при замене в нем y на -y оно не изменится. Это говорит о том, что кривая расположена симметрично относительно оси Ox. Какая это линия?

Возьмем параболу y² = 2px. Замена в этом уравнении x на -x переводит параболу в кривую y² = -2px. Следовательно, рассматриваемая кривая расположена симметрично параболе y² = 2px относительно оси Oy. Значит, кривая y² = -2px - тоже парабола. Ее фокус и директриса симметричны фокусу и директрисе параболы y² = 2px относительно оси Oy: фокус имеет координаты , а директриса определяется уравнением .

Составим теперь уравнение параболы, исходя из известного определения этой кривой, выбрав такое расположение координатных осей: примем за ось Oy прямую, проходящую через фокус параболы перпендикулярно к ее директрисе, а за положительное направление на ней возьмем направление от директрисы к фокусу. Начало координат поместим в точку, делящую пополам расстояние между фокусом и директрисой. Ось Ox направим, как обычно (см. рисунок). Итак, AB - данная прямая, F - данная точка.

-1-2-3-

решения других задач по данной теме