решения других задач по данной теме

Доказать, что у многочлена Чебышёва-Лагерра все нули положительны.

Решение.

Рассмотрим функцию . Очевидно, , поэтому функции , удовлетворяют условиям задачи на интервале ]-∞, +∞[. Повторяя рассуждения, проводившиеся при решении задачи, приходим к выводу, что u' обращается в нуль, по крайней мере, в одной точке этого интервала; u" - в двух точках; ...; u⁽ⁿ⁾ - в n точках. Поскольку есть многочлен n-й степени, имеющий ровно n нулей, то его нули совпадают с нулями функции u⁽ⁿ⁾ и все эти нули действительны.

решения других задач по данной теме