решения других задач по данной теме

С помощью "ε-δ"-рассуждений доказать непрерывность следующих функций:   д) ;   е) ;   ж) ;   з) .

Решение.

д) Для любого ε > 0 и x₀ ϵ R\{0} имеем

если .

Непрерывность функции в точке x₀ = 0 следует из неравенства

справедливого при |x| < ε² = δ.

е) Для любого ε > 0 имеем

при |x - x₀| < δ = ε.

ж) Аналогично предыдущему

при |x - x₀| < δ = ε.

з) Пусть |x₀| > 0 и |h| = |x - x₀| < |x₀|. Если

arctg(x₀ + h) - arctg x₀ = t,

то , а так как |t| ≤ |tg t| при |t| < π/2, то

если .

Непрерывность функции в точке x = 0 следует из неравенства

|arctg x - arctg 0| = |arctg x| < |x|.

-1-2-

решения других задач по данной теме