Задачи с решениями: векторные и метрические пространства.

   Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика

Примеры решения задач / Введение в анализ / Векторные и метрические пространства

Примеры задач с решениями

Пусть R^m - множество всевозможных упорядоченных систем m действительных чисел (x₁, x₂, ..., x_m). Пусть в множестве R^m определены: внутренняя бинарная операция R^m × R^m → R^m, которая любым двум элементам x = (x₁, ..., x_m) и y = (y₁, ..., y_m) множества R^m ставит в соответствие элемент x + y = (x₁ + y₁, ..., x_m + y_m), называемый суммой x и y; внешняя бинарная операция R × R^m → R^m, которая любому и любому ставит в соответствие элемент λx = (λx₁, ..., λx_m), называемый произведением λ на x. Показать, что R^m - векторное пространство над полем R.

Пусть - множество всевозможных прямоугольных матриц вида , где . Суммой матриц A = (a_ij) и B = (b_ij) назовем матрицу , а произведением матрицы A на число - матрицу . Показать, что - векторное пространство над полем R.

Доказать, что пространство R^m превращается в нормированное векторное пространство, если для произвольного x = (x₁, x₂, ..., x_m), , положим .

Доказать, что векторное пространство , элементами которого являются матрицы размера m × n, является векторным нормированным пространством, если для произвольной матрицы , положить .

Пусть - множество всевозможных ограниченных функций f: [a, b] → R. Показать, что множество становится векторным нормированным пространством над полем R, если для произвольной функции f положить .

Показать, что для произвольного векторного нормированного пространства E = {x, y, z, ...} справедливо неравенство .

Доказать, что векторное пространство (см. задачу ) становится евклидовым пространством, если для произвольных двух элементов A = (a_ij) и B = (b_ij) положить .

Показать, что нормированное векторное пространство E = {x, y, z, ...} становится метрическим, если для любых элементов x и y из E положить .

© 2006-2024 ПМ298

Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, эпициклоида , логарифмы , логарифм , гомотетия

Задачи с решениями: векторные и метрические пространства.