решения некоторых задач

Предел последовательности

Понятие последовательности

Последовательностью элементов множества E называется отображение

т. е. функция, которая каждому натуральному числу ставит в соответствие элемент .

Для записи последовательности употребляем обозначения (x_n), или x₁, x₂, ..., x_n, ..., или x_n = f(n), .

Элементы x₁, x₂, ..., x_n, ... называются членами последовательности, а x_n - общим членом последовательности.

Множество E может быть различным, например: R, R^m, C[a, b], и т.д. Если E = R, то последовательность называется числовой, если E = R^m, - векторной, если E = C[a, b], - функциональной, если E = - матричной и т. д. В каждом из этих случаев множество всевозможных последовательностей образует векторное нормированное, а следовательно, и метрическое пространство.

Сходящиеся последовательности и их свойства

Рассмотрим числовые последовательности.

Последовательность (x_n) действительных чисел называется сходящейся, если существует действительное число a и для произвольного ε > 0 существует натуральное число m такое, что для всех n > m справедливо неравенство |x_n - a| < ε.

При этом число a называют пределом последовательности (x_n), что символически записывают

или x_n → a при n → ∞.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-