Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Введение в анализ / Предел функции
решения других задач по данной теме Если функция f определена и локально ограничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте? Привести соответствующие примеры. Решение. а) Нет, функция f не ограничена на данном интервале. например, функция f(x) = 1/x ограничена в окрестности любой точки интервала ]0, 1[, но не является ограниченной на этом интервале, так как f(xn) → +∞ при xn = 1/n → 0, а 0 < xn < 1 при n = 2, 3, ... . б) Функция ограничена. Для доказательства предположим противное: пусть функция неограниченная. Тогда для любого натурального числа n существует
Кроме того, существует такое число N, что kn > E при n > N и решения других задач по данной теме |
(где [a, b] - сегмент, указанный в условии задачи) такое, что f(xn) > n. А так как a ≤ xn ≤ b (т. е. (xn) ограничена), то существует подпоследовательность 
, такая, что 
. По условию f локально ограничена в окрестности любой точки, т. е. существуют такие δ > 0 и E > 0, что
, а тогда f(xk