решения других задач по данной теме

Остается показать, что при произвольных заданных числах T₁, kT₂ и δ существуют целые числа m > 0 и n, удовлетворяющие неравенству (5).

Если T₂ и T₁ - рациональные, то это очевидно.

пусть T₂ и T₁ - иррациональные. Если обозначим kT₂/T₁ = l, δ/T₁ = α, то неравенство (5) запишем в виде

|ml - n| < α.     (6)

Для доказательства последнего неравенства разобьем интервал [0, 1] на [1/α] + 1 равных частей ([a] - целая часть числа а) длиной , причем к каждому из частичных интервалов условимся приписывать его левый конец и не приписывать правый.

Рассмотрим множество чисел

     (7)

каждое из которых принадлежит одному из построенных нами частичных интервалов. Поскольку частичных интервалов [1/α] + 1, а чисел (7) имеется [1/α] + 2, то существует хотя бы один интервал, содержащий два числа

pl - [pl]   и   ql - [ql],   p < q,     (8)

множества (7). Но так как длина интервала равна , то разность между числами (8) меньше этой длины, т. е.

Обозначая

q - p = m   (m > 0),   [ql] - [pl] = n

и подставляя вместо l и α их значения, получаем

, или |mkT₂ - nT₁| < δ.

-1-2-

решения других задач по данной теме