решения других задач по данной теме

Пусть φ и ψ - непрерывные периодические функции, определенные при x ϵ R и . Доказать, что φ(x) ≡ ψ(x), x ϵ R.

Решение.

Пусть T₁ - период функции φ, а T₂ - период функции ψ. Предположим, что , т. е. существует такая точка x = t, что

|φ(t) - ψ(t)| = M > 0.     (1)

Возьмем ε > 0 произвольное, но меньше M/2. В силу непрерывности функции φ в точке x = t, для указанного ε > 0 существует δ > 0 такое, что

|φ(t) - φ(t + h)| < ε,     (2)

как только |h| < δ. Согласно условию, существует такое натуральное число k, что |φ(t + kT₂) - ψ(t + kT₂)| < ε, а тогда имеем

|φ(t + mkT₂) - ψ(t + mkT₂)| < ε.     (3)

Из неравенств (2), (3) и периодичности функций φ и ψ следует неравенство

|φ(t) - ψ(t)| = |φ(t) - φ(t + mkT₂) + φ(t + mkT₂) - ψ(t + mkT₂)| ≤ |φ(t) - φ(t + mkT₂)| + |φ(t + mkT₂) - ψ(t + mkT₂)| =

= |φ(t) - φ(t + mkT₂ - nT₁)| + |φ(t + mkT₂) - ψ(t + mkT₂)| < ε + ε = 2ε,     (4)

если только

|mkT₂ - nT₁| < δ.     (5)

Но мы выбрали такое число ε, что 2ε < M. Таким образом, неравенство (4) противоречит равенству (1). Источник противоречия - в предложении существования точки x = t, в которой

|φ(t) - ψ(t)| = M > 0.

Следовательно, такой точки не существует, т. е.

φ(x) ≡ ψ(x), -∞ < x < +∞.

-1-2-

решения других задач по данной теме