решения других задач по данной теме

Пусть множество = {α, β, γ} состоит из трех элементов, а P() - семейство всех подмножеств множества .
              а) Записать все алгебры, которые можно построить из элементов множества P(), и указать их единицы.
              б) Описать все кольца, которые можно построить из элементов множества P().
              в) Описать все полукольца, которые можно построить из элементов множества P() и которые не являются кольцами.

Решение.

а) Простейшими алгебрами являются: семейство {Ø}, состоящее из одного пустого множества; три алгебры {{α}, Ø}, {{β}, Ø}, {{γ}, Ø}, состоящие из двух элементов с единицами, соответственно равными {α}, {β}, {γ}, (см. задачу); шесть алгебр

{{α, β}, {α}, {β}, Ø},   {{α, γ}, {α}, {γ}, Ø},   {{β, γ}, {β}, {γ}, Ø},

{{α, β}, Ø},   {{α, γ}, Ø},   {{β, γ}, Ø},

единицами которых соответственно являются множества {α, β}, {α, γ}, {β, γ}, {α, β}, {α, γ}, {β, γ}. Легко видеть, что любое из этих семейств замкнуто относительно объединения и разности; четыре алгебры

единицей которых является множество . Наконец, объединение всех перечисленных алгебр

также является алгеброй с единицей .

б) Все приведенные в пункте а) алгебры, естественно, являются кольцами. Других колец нет.

-1-2-

решения других задач по данной теме