Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Введение в анализ / Непрерывность функций
решения других задач по данной теме Доказать формулу сложения арктангенсов: Решение. Имеем
поэтому
где ε ϵ Z. Поскольку
то ε может принимать только три значения: 0, 1, -1. Вычисляя косинусы от левой и правой частей равенства (1), получаем
так что
Следовательно, функция
терпит разрыв, если y = 1/x, где x - любое фиксированное число. Заметим, что если xy < 1, то ε = 0, а при xy > 1 ε = ±1 (так как ε может принимать только три значения: 0, 1, -1). Пусть xy > 1 и x > 0. Тогда y > 0 и arctg x > 0, arctg y > 0, а В равенстве (1) слева стоит непрерывная положительная функция, следовательно, и справа должна стоять положительная функция, а поэтому επ > 0, т. е. ε = +1. Аналогично, если xy > 0 и x < 0 (y < 0), то ε = -1. решения других задач по данной теме |
, где ε принимает одно из трех значений 0, 1, -1.
(1)
.