решения других задач по данной теме

Доказать, что у многочлена Чебышёва-Лагерра все нули положительны.

Решение.

Рассмотрим функцию . Поскольку , то существует такая точка ξ₁ ϵ ]0, +∞[, что φ'(ξ₁) = 0 (см. задачу). Очевидно, , поэтому в силу теоремы Ролля и на основании решения задачи, найдутся точки ξ₂ ϵ ]0, ξ₁[ и ξ₃ ϵ ]ξ₁, +∞[ такие, что φ"(ξ_i) = 0, i = 2, 3. Кроме того, φ"(0) = 0. Таким образом, φ" обращается в нуль в трех точках полуоси x ≥ 0. Поскольку при , то применяя теорему Ролля и пользуясь n - 3 раза результатом решения задачи, получаем, что функция φ^(n-1) обращается в нуль в n + 1 точках, лежащих на полуоси x ≥ 0, причем одна из этих точек x = 0. Эти точки являются концами n отрезков, на каждом из которых к функции φ^(n-1) применима теорема Ролля, поэтому существует, по меньшей мере, n таких точек η_k > 0, что φ⁽ⁿ⁾(η_k) = 0. Очевидно, φ⁽ⁿ⁾(0) ≠ 0. Поскольку L_n(x) = e^xφ⁽ⁿ⁾(x) есть многочлен n-й степени, имеющий n нулей, то его нули - точки η_k, причем η_k > 0, .

решения других задач по данной теме