решения других задач по данной теме

Пусть - множество всевозможных прямоугольных матриц вида , где . Суммой матриц A = (a_ij) и B = (b_ij) назовем матрицу , а произведением матрицы A на число - матрицу . Показать, что - векторное пространство над полем R.

Решение.

Множество матриц A = (a_ij) размера m × n можно отождествить с пространством R^mn векторов

x = (a₁₁, ..., a_1n, ..., a_m1, ..., a_mn)

при помощи взаимно однозначного соответствия

(a_ij) ↔ (a₁₁, ..., a_1n, ..., a_m1, ..., a_mn).

При этом для любых и

(a_ij) + (b_ij) ↔ (a₁₁ + b₁₁, ..., a_1n + b_1n, ..., a_m1 + b_m1, ..., a_mn + b_mn),

λ(a_ij) ↔ (λa₁₁, ..., λa_1n, ..., λa_m1, ..., λa_mn)

(т. е. пространство изоморфно пространству R^mn относительно сложения элементов из и умножения на скаляры поля R). Таким образом, - векторное пространство над полем R.

решения других задач по данной теме