решения других задач по данной теме

Вычислить тройной интеграл , где T - область, ограниченная поверхностью x² + y² + z² = z.

Решение.

Область T представляет собой шар, ограниченный сферой, уравнение которой удобно записать в виде x² + y² + (z - 1/2)² = 1/4 (см. Рис. 1, а).

Данный тройной интеграл можно вычислить с помощью повторного интегрирования в прямоугольных координатах:

Однако удобнее перейти к сферическим координатам (r, θ, φ):

x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ,     (*)

причем переменная φ изменяется от 0 до 2π, а при каждом значении φ переменная θ изменяется от 0 до π/2. Подставляя выражения (*) в уравнение сферы, получим r² = r cos θ, откуда r = 0 или r = cos θ. Эти две поверхности в пространстве (r, θ, φ) при 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π/2 ограничивают снизу и сверху область τ (см. Рис. 1, б), являющуюся прообразом области T при отображении (*). Якобиан отображения (*) равен r² sin θ, а подынтегральная функция в сферических координатах равна r. Вычисляя тройной интеграл по области τ с помощью повторного интегрирования, получаем

Отметим, что расстановку пределов интегрирования для переменной r можно произнести, рассматривая не область τ, а изменение r при фиксированных значениях φ и θ в области T. Наглядно видно, что на каждом луче φ = const, θ = const переменная r изменяется в шаре T от 0 (значение r в начале координат) до cos θ (значение r на сфере).

решения других задач по данной теме