Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы
решения других задач по данной теме Даны два материальных тела: T1 с плотностью ρ1(x, y, z) и T2 с плотностью ρ2(x, y, z). Найти силу F притяжения тела T1 телом T2. Решение. Пусть M(x, y, z) – произвольная точка тела T1, а M' (x', y', z') – произвольная точка тела T2. Введем (бесконечно малые) элементы объема dV = dx dy dz и dV' = dx' dy' dz' с центрами в точках M и M' (см. рисунок).
Масса элемента объема dV равна ρ1(x, y, z)dx dy dz, а масса элемента объема dV' равна ρ2(x', y', z')dx' dy' dz'. Силу, с которой первая из этих масс притягивается второй, можно представить в виде
где e - единичный вектор, сонаправленный с вектором Так как ρ(M, M') = [(x' - x)2 + y' - y)2 + z' - z)2]1/2, то составляющую силы dF по оси Ox можно записать в виде
Чтобы найти составляющую по оси Ox силы, с которой тело T1 притягивается телом T2, нужно просуммировать выражения (*) по всем элементам объемов тел T1 и T2, или, более точно, нужно проинтегрировать по телам T1 и T2. Таким образом, составляющая Fx искомой силы F выражается 6-кратным интегралом:
Говорят, что этот интеграл берется по произведению тел T1 и T2. Аналогично выражаются составляющие Fy и Fz силы F. решения других задач по данной теме |
. Координаты вектора е равны 
.
(*)
