решения других задач по данной теме

В двойном интеграле , где G - круг, ограниченный окружностью x² + y² = 2x, перейти к полярным координатам с полюсом в точке O(0, 0) и вычислить полученный интеграл.

Решение.

Круг G изображен на Рис. 1, а.

Уравнения, связывающие (x, y) и полярные координаты (ρ, φ) с полюсом в точке O(0, 0), имеют вид

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ,     (1)

причем наглядно видно, что в качестве промежутка изменения φ можно взять сегмент -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Подставляя выражения (1) в уравнение окружности, получим ρ² = 2ρ cos φ, откуда ρ = 0 или ρ = 2 cos φ. Эти две кривые на плоскости (ρ, φ) при -π/2 ≤ φ ≤ π/2 ограничивают область g (см. Рис. 1, б), являющуюся прообразом области G при отображении (1). Якобиан отображения (1) равен ρ. Отметим, что на границе ρ = 0 области g, однако формула

     (2)

замены переменных применима. Подынтегральная функция x² + y² в новых переменных равна ρ². По формуле (2) имеем

Полученный двойной интеграл по области g сводим к повторному:

     (3)

и вычисляем повторный интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница:

Замечание 1. Расстановку пределов интегрирования в повторном интеграле (3) можно произвести, рассматривая не область g, а изменение полярных координат в исходной области G. На Рис. 1(в) видно, что при каждом значении φ из промежутка [-π/2, π/2] переменная ρ изменяется от 0 (значение ρ в полюсе) до 2 cos φ (значение ρ на окружности, уравнение которой в полярных координатах имеет вид ρ = 2 cos φ). Таким образом, пределы интегрирования по φ - от -π/2 до π/2, а по ρ - от 0 до 2 cos φ.

Замечание 2. Обычно замена переменных в двойном интеграле производится с целью упрощения области интегрирования. Если в данном примере перейти к полярным координатам с полюсом не в точке O(0, 0), а в точке A(1, 0) (центре круга), т. е. по формулам x - 1 = ρ cos φ, y = ρ sin φ, то прообразом круга G окажется прямоугольник (наиболее простая область) σ = {(ρ, φ): 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π} (см. Рис. 1, г). Выражение для подынтегральной функции примет вид x² + y² = 1 + 2ρ cos φ + ρ². В этом случае, используя формулу (2) и сводя двойной интеграл к повторному, получим

решения других задач по данной теме