Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Двойные и n-кратные интегралы
решения других задач по данной теме Найти ньютоновский потенциал поля тяготения однородного шара T радиуса R с плотностью ρ в точке A, находящейся на расстоянии d от центра шара (d > R). Решение. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат совпало с центром шара, а точка A лежала на положительной полуоси Oz. Тогда уравнение сферы, ограничивающей шар, примет вид x2 + y2 + z2 = R2, а точка A имеет координаты (0, 0, d). По формуле для ньютоновского потенциала имеем
Так как тело T - шар, то для вычисления тройного интеграла удобно перейти к сферическим координатам: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. Прообразом шара T при этом отображении является прямоугольный параллелепипед τ = {(r, θ, φ): 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π}. Учитывая, что якобиан отображения равен r2sin θ, а
где Таким образом, однородный шар массы m создает в пространстве вне шара такое же поле тяготения, что и точечная масса m, помещенная в центр шара. решения других задач по данной теме |
, и сводя тройной интеграл по области τ к повторному, получим
- масса шара.