решения других задач по данной теме

Доказать, что если и x₁x₂ ... x_n, то x₁ + x₂ + ... + x_n ≥ n, при этом .

Решение.

Для доказательства применим метод математической индукции. При n = 1 неравенство x₁ + x₂ + ... + x_n ≥n справедливо и при этом имеет место только знак равенства. Если n = 2 и x₁x₂ = 1, то обязательно один сомножитель, например , а . Тогда из очевидного тождества

x₁ + x₂ = x₁x₂ + 1 + (x₁ - 1)(1 - x₂)     (1)

и условия x₁x₂ = 1 следует неравенство x₁ + x₂ ≥ 2 и условие .

Предположим теперь, что для произвольных k положительных чисел x₁, x₂, ..., x_k, произведение которых равно единице, справедливо неравенство , причем

Рассмотрим произведение k + 1 положительных чисел x₁, x₂, ..., x_{k + 1}, для которых x₁x₂ ... x_{k + 1} = 1. Если не все x_i равны единице, то найдутся числа как бóльшие, так и меньшие единицы. Не ограничивая общности, будем считать, что x₁ > 1, x₂ < 1. Тогда, по предположению, для k положительных чисел (x₁x₂), x₃, ..., x_{k + 1}, произведение которых равно единице, справедливо неравенство

     (2)

причем

     (3)

Складывая тождество (1) с неравенством (2), получаем неравенство

и условие

из которого следует, что

решения других задач по данной теме