решения других задач по данной теме

Пусть функция f имеет конечную производную f' в каждой точке конечного или бесконечного интервала ]a, b[ и . Доказать, что f'(c) = 0, где c - некоторая точка интервала ]a, b[.

Решение.

Пусть интервал ]a, b[ конечен и , C = const. Рассмотрим функцию

Она непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную производную на интервале ]a, b[, причем F(a) = F(b). По теореме Ролля на интервале ]a, b[ найдется такая точка c, что F'(c) = f'(c) = 0.

Если интервал ]a, b[ бесконечный, то, в силу существования конечной производной функции f, непрерывности функции f и существования конечных, равных между собой, ее предельных значений при x → a + 0 и x → b - 0, при достаточно малом ε > 0 прямая y = C + ε или прямая y = C - ε пересечет кривую y = f(x), по меньшей мере, в двух точках, которые обозначены c₁ и c₂. Для функции f на сегменте [c₁, c₂] выполнены все условия теоремы Ролля, поэтому на интервале ]c₁, c₂[ (а значит, и на интервале ]a, b[ ) найдется такая точка c, что f'(c) = 0.

Рассмотрим теперь случай, когда . Тогда как в случае конечного, так и бесконечного интервала ]a, b[ уравнение f(x) = A (где A > 0 - любое число, фиксированное, когда ) или уравнение f(x) = -A (в случае, когда ) всегда имеет два различных корня, которые обозначим α₁ и α₂. Применяя теорему Ролля к функции f на сегменте [α₁, α₂], приходим к выводу, что на интервале ]α₁, α₂[ (а значит, и на ]a, b[ ) существует, по меньшей мере, одна такая точка c, что f'(c) = 0.

решения других задач по данной теме