решения других задач по данной теме

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (где h > 0, k > 0, a > 0, b > 0).

Решение.

Для вычисления этой площади удобно перейти к так называемым обобщенным полярным координатам

Уравнение принимает вид

     (*)

причем, поскольку левая часть (*) неотрицательна, следует брать лишь такие значения φ, для которых правая часть (*) является неотрицательной.

Умножив и разделив правую часть (*) на и определив φ₀ из соотношений

приведем (*) к виду

     (**)

Из условия неотрицательности правой части (**) находим, что 0 ≤ φ + φ₀ ≤ π, т. е. -φ₀ ≤ φ ≤ π - φ₀.

Учитывая, что якобиан равен abr, получим для искомой площади S следующее выражение:

Заметим, что для вычисления ряда площадей удобен несколько более общий вид обобщенных полярных координат

x = a r cos^αφ,
y = b r sin^αφ.

Легко убедиться, что для этих координат

решения других задач по данной теме