решения других задач по данной теме

Найти область сходимости степенного ряда

Решение.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Согласно признаку Даламбера полученный знакоположительный ряд сходится (абсолютно) при тех значениях x, для которых . Здесь .

Отсюда

Определим, при каких значениях x этот предел l будет меньше единицы. Для этого решим неравенство , или |x| < 2, откуда -2 < x < 2.

Таким образом, первоначальный ряд сходится (абсолютно) в интервале (-2; 2) – это и есть интервал сходимости данного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При x = -2 получаем числовой ряд

Это – гармонический ряд, который расходится.

При x = 2 получаем числовой знакочередующийся ряд

который по признаку Лейбница сходится (условно).

Итак, область сходимости данного ряда -2 < x ≤ 2.

решения других задач по данной теме