решения других задач по данной теме

Дан тройной интеграл , где T - область, ограниченная поверхностями z = 0, z = xy, y = x, x = 1. Свести данный интеграл к повторному двумя способами: а) так, чтобы внутренний интеграл был определенным интегралом с переменной интегрирования z; б) так, чтобы внутренний интеграл был двойным интегралом с переменными интегрирования y и z. В каждом случае свести тройной интеграл к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Решение.

a) Область T представляет собой «криволинейную пирамиду» AOBC (см. Рис. 1, а), основанием которой является треугольник OBC в плоскости (x, y) (обозначим этот треугольник буквой G).

Для каждой точки (x, y) области G переменная z изменяется от 0 (значение z в области G) по xy (значение z на поверхности z = xy), т. е. область T можно представить в виде

По формуле имеем

Сводя двойной интеграл по области G к повторному, получим

     (*)

б) Область T заключена между плоскостями x = 0 и x = 1. Сечение области T плоскостью x = const (см. Рис. 1, б) представляет собой треугольник G(x). Проекция этого треугольника на плоскость Oyz изображена на Рис. 1, в. По формуле имеем

Сводя двойной интеграл по области G(x) к повторному, получим

что совпадает с равенством (*).

решения других задач по данной теме