решения других задач по данной теме

Найти площадь фигуры G, ограниченной кривой (a > 0, b > 0).

Решение.

Так как левая часть уравнения кривой неотрицательна при любых x и y, то и правая часть должна быть неотрицательной, а значит, x и y должны иметь одинаковые знаки. Следовательно, кривая расположена в I и III квадрантах, причем она симметрична относительно начала координат. В самом деле, если точка M(x, y) лежит на кривой, т. е. x и y удовлетворяют уравнению , то -x и -y также удовлетворяют этому уравнению, т. е. точка M'(-x, -y), симметричная точке M относительно начала координат, также лежит на кривой. Поэтому и вся фигура G состоит из двух частей, симметричных друг другу относительно начала координат. Найдем площадь S₁ части фигуры, расположенной в I квадранте. Для этого удобно перейти к новым переменным - обобщенным полярным координатам. Они вводятся по формулам

x - x₀ = aρ^βcos^αφ, y - y₀ = bρ^βsin^αφ,     (*)

где x₀, y₀, a, b, α, β - некоторые числа, выбираемые в каждом конкретном случае из соображений удобства. Якобиан отображения (*) равен abαβ ρ^2β-1sin^α-1φ.

В данном случае удобно взять x₀ = y₀ = 0, α = 2, β = 1. Тогда левая часть уравнения будет равна ρ⁴ и уравнение примет вид

ρ⁴ = 4abρ²cos²φsin²φ,

откуда ρ = 0 или , причем 0 ≤ φ ≤ π/2 (I квадрант). Кривые ρ = 0 и (0 ≤ φ ≤ π/2) на плоскости (ρ, φ) ограничивают область g - прообраз части фигуры G, лежащей в I квадранте. Якобиан отображения (*) в данном случае равен 2abρsinφcosφ. По формуле

получаем

Искомая площадь фигуры G равна 2S₁, т. е. .

решения других задач по данной теме