решения других задач по данной теме

Вычислить интеграл от разрывной функции путем построения его первообразной на всем промежутке интегрирования .

Решение.

Функция f не определена в точках x = 0 и x = 2 сегмента [-1, 3], а подынтегральную функцию можно записать в виде

и функция , является первообразной ограниченной на множестве E функции .

Согласно (3), имеем

где

Первообразную Φ функции F на сегменте [-1, 3] строим следующим образом:

arctg f(x),     если     -1 ≤ x < 0,      и        ,      если      x = 0,

arctg f(x),     если     0 < x < 2,     и     ,     если     x = 0,

                                                            ,     если     x = 2,

arctg f(x),     если     2 < x ≤ 3,     и     ,     если     x = 2.

Следовательно, получаем

где Φ(0) = -π/2, Φ(2) = -3π/2.

Применив формулу Ньютона-Лейбница, получим

решения других задач по данной теме