Чтобы умножить (разделить) один элемент на другой, надо абсолютную величину первого элемента умножить (разделить) на абсолютную величину второго и поставить знак +, если знаки данных элементов одинаковы, и знак -, если различны. Для умножения это следует из правила знаков в любом кольце [(3)], т. к. ab = (±|a|) · (±|b|), а для деления (если оно выполнимо) выводится отсюда так: если , то a = bc, |a| = |b| · |c|, откуда .

     При умножении на положительный элемент знак сохраняется, а на отрицательный - меняется. Поэтому из a = bc следует, что при одинаковых знаках a и b частное c положительно, а при разных знаках отрицательно.

     Таким образом, обычные правила оперирования с неравенствами и абсолютными величинами верны не только для чисел, но и для элементов любых расположенных колец. Эти правила являются следствием аксиом I-VI, IX и X.

     Есть, однако, одно важное свойство чисел, которое уже не переносится на любые расположенные кольца. Это - выполнение так называемой аксиомы Архимеда, согласно которой, складывая само с собой любое данное положительное число (как бы мало оно ни было) достаточное число раз, можем получить число, превосходящее любое (сколь угодно большое) данное число. Поэтому кольца, обладающие аналогичным свойством, нуждаются в особом определении.

     Кольцо (в частности, поле) называется архимедовски расположенным, если оно обладает свойством:

     XI. (Аксиома Архимеда) Для любых элементов a и b кольца, где b > 0, существует натуральное число n такое, что nb > a.

     В случае поля достаточно выполнения этого условия лишь для единицы поля e, т. е. свойство XI эквивалентно свойству

     XI'. Для любого элемента a поля существует натуральное число n такое, что ne > a.

     Действительно, если b > 0, то существует натуральное число n, для которого , и, умножая на b > 0, получим: nb > a.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-