Замечание. Точно так же известные из элементарной алгебры правила сравнения и действий над "относительными числами" через сравнение и действия над их абсолютными величинами остаются справедливыми для любого расположенного кольца R.

     Именно, положительный элемент кольца R больше отрицательного, что ясно из сравнения с нулем. Из двух положительных элементов тот больше, абсолютная величина которого больше, т. к. положительные элементы совпадают с их абсолютными величинами. Из двух отрицательных элементов тот больше, абсолютная величина которого меньше. В самом деле, если a и b отрицательны, то a - b = (-b) - (-a) = |b| - |a| и поэтому a > b тогда и только тогда, когда |a| < |b|.

     Если по симметрии с обозначением элемента, противоположного a, через -a обозначить сам элемент a через +a, то каждый элемент можно выразить через его абсолютную величину так: a = ±|a|, где знак + берется для положительного и - для отрицательного элемента a. В этом смысле можно говорить о знаке данного элемента. Тогда имеют место следующие правила действий.

     Чтобы сложить два элемента одного знака, надо сложить их абсолютные величины и поставить тот знак, который имели слагаемые. В самом деле, если a > 0 и b > 0, то это очевидно; если же a < 0 и b < 0, то a + b = (-|a|) + (-|b|) = -(|a| + |b|).

     Чтобы сложить два элемента разных знаков, надо из большей абсолютной величины вычесть меньшую (при равенстве абсолютных величин сумма равна нулю) и поставить знак того слагаемого, у которого абсолютная величина больше. Пусть a > 0 и b < 0.

Если |a| > |b|, то

a + b = a - (-b) = +(|a| - |b|).

Если |a| < |b|, то

a + b = - (-b - a) = -(|b| - |a|).

     Чтобы из одного элемента вычесть другой, надо к первому элементу прибавить элемент, противоположный второму. Это верно даже для любых колец.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-