Точно так же, прибавляя -b к неравенству -a < a, получим:

-(a + b) = (-a) + (-b) < a + (-b) = |a| + |b|.

Но |a + b| совпадает либо с a + b, либо с -(a + b). Поэтому

|a + b| < |a| + |b|.

     Итак, в этих двух случаях (1) имеет место при знаке <.

     Равенство (2), очевидно, выполнено, если хотя бы один из элементов a, b равен нулю. Остается разобрать три случая:

     1) a > 0, b > 0. По свойству X ab > 0 и |ab| = ab = |a| · |b|.

     2) a < 0, b < 0, -a > 0, -b > 0, (-a)(-b) > 0 и по правилу знаков (3) из параграфа Кольца

|ab| = |(-a)(-b)| = (-a)(-b) = |a| · |b|.

     3) a > 0, b < 0, -b > 0, a(-b) > 0,

|ab| = |-ab| = |a(-b)| = a(-b) = |a| · |b|.

Из неравенства (1) следует

| |a| - |b| | ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b|     (3)

для любых элементов a и b расположенного кольца R. В самом деле, так как a + b = a - (-b) и |b| = |-b|, то достаточно доказать (3) для случая разности a - b. Но из a = (a - b) + b и b = (b - a) + a по (1) найдем: |a| ≤ |a - b| + |b| и

|b| ≤ |b - a| + |a| = |a - b| + |a|,

откуда

|a| - |b| ≤ |a - b| и |b| - |a| ≤ |a - b|;

поэтому

| |a| - |b| | ≤ |a - b| = |a + (-b)| ≤ |a| + |b|.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-