Абсолютной величиной элемента a расположенного кольца (и, в частности, поля) называется неотрицательный из элементов a и -a. Абсолютная величина элемента a обозначается через |a|.

     Согласно этому |0| = 0 и при a ≠ 0 всегда |a| > 0.

     Теорема 8. Абсолютная величина суммы конечного числа элементов меньше или равна сумме абсолютных величин слагаемых. При этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда все слагаемые неположительны или все неотрицательны. Абсолютная величина произведения конечного числа элементов равна произведению абсолютных величин сомножителей.

     Доказательство. Ограничимся случаем двух элементов, так как произведение индукции не представляет затруднений. Итак, надо доказать, что

|a + b| ≤ |a| + |b|,     (1)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда либо a ≥ 0, b ≥ 0, либо a ≤ 0, b ≤ 0, а также доказать, что

|ab| = |a| · |b|.     (2)

Если a ≥ 0 и b ≥ 0, то также a + b ≥ 0 и

|a + b| = a + b = |a| + |b|.

Если a ≤ 0 и b ≤ 0, то -a ≥ 0, -b ≥ 0 и

-(a + b) = (-a) + (-b) ≥ 0,

откуда

|a + b| = -(a + b) = (-a) + (-b) = |a| + |b|.

     Итак, в этих двух случаях (1) имеет место при знаке =. По симметрии a и b в (1) из двух оставшихся случаев a > 0, b < 0 и a < 0, b > 0 достаточно разобрать лишь первый. По теореме 2, прибавляя a к неравенству b < -b, получим:

a + b < a + (-b) = |a| + |b|.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-