Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Формулы / Группы, кольца и поля / Расположенные кольца и поля / 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Доказательство. В теореме 2 посылки а) обладают тем свойством, что одна (и только одна, что сейчас неважно) из них наверное имеет место, а следствия [в каждом случае б), в), г) отдельно] - тем свойством, что они взаимно исключают друг друга. Для теорем такого рода обратные теоремы всегда верны, причем их можно доказать методом "от противного". Докажем, например, что из ac = bc следует a = b при c > 0. Предположим противное, что a ≠ b. Тогда имеет место какая-то из других посылок а) теоремы 2. Но если a > b, то по теореме 2 ac > bc, если же a < b, то ac < bc, что невозможно ввиду ac = bc, чем исключаются неравенства ac > bc и ac < bc. Следствие 1. В расположенном кольце из а)
следует соответственно б)
и обратно. В самом деле, прибавляя к обеим частям а) сумму b + d, получим б). Обратные теоремы верны, так как в а) и б) исчерпаны все случаи и они исключают друг друга. Следствие 2. В расположенном поле при bd > 0 из а)
следует соответственно б)
и обратно. Доказательство аналогично предыдущему. |
