Теорема 2. (Законы монотонности для сложения и умножения) Для любых элементов a, b, c расположенного кольца R из а) a > b, a = b, a < b следует соответственно б) a + c > b + c, a + c = b + c, a + c < b + c и при c > 0 соответственно в) ac > bc, ac = bc, ac < bc, а при c < 0 - соответственно: г) ac < bc, ac = bc, ac > bc.

     Доказательство. Если a > b, то

(a + c) - (b + c) = a - b > 0,

т. е. a + c > b + c. Если a = b, то ac = bc по однозначности сложения. Если a < b, то b > a, и по первому случаю

b + c > a + c, a + c < b + c.

Случай б) доказан.

     Если a > b, c > 0, то a - b > 0, и по условию X

(a - b)c = ac - bc > 0, ac > bc.

Если c < 0, то -c > 0, и по правилу знаков при умножении имеем:

bc - ac = (b - a)c = [-(b - a)](-c) = (a - b)(-c) > 0,

bc > ac, ac < bc.

     Итак, оба первых случая в) и г) доказаны. Остальные случаи вытекают из первых дословно, как при доказательстве б).

     Справедливы также обратные теоремы, а именно:

     Теорема 3. Из

a + c > b + c, a + c = b + c, a + c < b + c

следует соответственно

a > b, a = b, a < b.

Из

ac > bc, ac = bc, ac < bc

следует при c > 0 соответственно

a > b, a = b, a < b,

а при c < 0 - соответственно

a < b, a = b, a > b.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-